一些对于介值定理的有趣应用

1.介值定理的介绍及其证明

介值定理是一个对于连续函数而言非常基础的定理，从直观上而言，其几乎是显然的，但是其的证明深刻依赖于实数系的基本定理。所以在第一节我们将会利用来分别证明，这部分较为严肃枯燥，只想关注有趣应用的可以跳到第三节去观看。

命题1.1 （介值定理）

区间上的连续函数的值域必定是区间（可缩为一点）.i.e. 若$f\in C[a,b],a\geq x_1< x_2\geq b,f(x_1)\neq f(x_2)$,则f可以取到$f(x_1)$与$f(x_2)$之间的每个值.我们将这个性质称为介值性质.

要证明这个命题，我们先证明一个缩小版本的命题，然后利用辅助函数求解.

引理1.2（零点存在定理）

若$f\in C[a,b]$，且满足条件$f(a)f(b)< 0$，则存在点$\xi\in (a,b)$ s.t $f(\xi) = 0$.

$pf$（闭区间套定理与Bolzano二分法）

记$a=a_1,b=b_1,c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$，考虑$f(c_1)$的符号，若$f(c_1)=0$显然得证，若$f(c_1)\neq 0$，则$f(a_1)$与$f(b_1)$中必有一个与$f(c_1)$符号不同，记$[a_1,c_1],[c_1,b_1]$中两端$f$异号的区间为$[a_2,B_2]$,由此下去，由闭区间套定理，可找到一点$\xi\in \bigcap_{n=1}^{\inf} [a_n,b_n]$使得

$$\lim_{n \to \inf} a_n = \lim_{n \to \inf} b_n =\xi$$

考虑$f(\xi)$的符号，如果$f(\xi)\neq 0$则由连续函数的局部保号性（可有定义直接推出）可知存在一个领域$O(\xi)$，使得$f$ 在$O(\xi)$上同号，但是在$n$足够大的时候$[a_n,b_n]\subseteq O(\xi)$与异号矛盾，故$f(\xi)= 0$.

$\square$

$pf$(对命题1.1)

对$\forall c\in [a,b],a\geq x_1< x_2\geq b$，构造辅助函数$F(x)= f(x)-c$,对$F(x)$运用引理1.2，有$f(x_1)f(x_2)< 0$可以得到$\exist \eta\in[x_1,x_2]$使得$F(\eta)= 0$，i.e $f(\eta)= c$.

$\square$

2.特例

证明了介值定理，我们不妨问，是否所有满足介值性质的函数都是连续函数，显然不是，我们甚至可以构造一个处处不连续的函数但是其的值域是区间.下面介绍一个函数Riemann函数.

定义2.1（Riemann 函数）

[ R(x) = \begin{cases} \frac{1}q, & x = \frac{p}q,gcd(p,q)=1,q>0 \ 0, & x \in \mathbb{R}- \mathbb{Q} \ \end{cases} ]

其中定义$R(0) =1$.

可通过对每一个点取邻域说明其除了在$x= 0$处外均不连续.

由此类似的我们可以构造一个函数定义在$[0,1]$上处处不连续但是值域为区间.

[ f(x) = \begin{cases} x, & x是区间上的有理数, x\neq \frac{1}{2} \ -x + 1, & x是区间上的无理数 \ \frac{1}{2}, & x = 1 \ 1, & x =\frac{1}{2} \end{cases} ]

3.一些有趣的生活实例

借由这个简单却实用的定理，我们可以证明一些很令人惊叹的结论.

命题3.1 一个煎饼，无论形状如何，必可切一刀使形状二等分.

$pf$ 固定煎饼边缘一点$A$,从这个点对煎饼边缘每一点连成一条直线，记这条直线上方面积为$S(x)$，记整个煎饼面积为$s$,考虑$S(x)$的介值性质，显然值域为$[0,s]$，即可找到.

$\square$

命题3.2 两个煎饼无论形状如何，必能切一刀，使得他们的面积同时二等分.

$pf$ 先证明一个引理，对于一个煎饼，对于每个方向，都可以找到唯一的一条直线使得平分这个煎饼.

显然对每一个方向，做一条垂直于这个方向的直线，扫过这个煎饼，考虑扫过的面积，显然严格单调递增且连续，由介值定理得证.

现在考虑两个煎饼，选取一个方向，平分煎饼1，，且与煎饼2无焦点，现在开始旋转这条线，定义与煎饼2扫过的面积为$S(x)$，考虑$S(x)$的介值性质，显然值域为$[0,s]$，即可找到.

$\square$

命题3.3 四只脚的桌子在地上可能会摇晃，如果适当转动，总能找到不摇晃的点.

$pf$ 定义四只脚距离地面的距离分别为$a(\theta),b(\theta),c(\theta),d(\theta)$，考虑函数$f(\theta)= a(\theta)-b(\theta)+c(\theta)-d(\theta)$

由显然对于任意的$\theta$ 都有三只脚同时着地（三点确定一个平面），分别令$a>0,b>0$，由介值定理得证.

$\square$

这几个定理真的很好玩，而且在高中知识内就完全可以理解，虽然这里并未严格定义面积，光滑曲线等概念，但是我们依旧可以体会到数学的有趣.

接下来是一些思考题，我会给出提示，想一想十分简单且有趣.

命题3.4 一个运动员用10秒钟跑完100米，则他必有一秒的时间内跑过了10米.

命题3.5 在经济快速增长的时代，政府对市场经济实行必要的调控，是维持经济良性发展的有效手段， 假设市场经济增长函数为$\psi(t)$，政府调控经济增长函数为，$\phi(t)$试证明在某一时刻市场增长价格与政府调控价格相同。

命题3.6 一个煎饼，总能以相互垂直的方式切两刀，使得面积4等分.

命题3.7 给定平面上的一段光滑曲线，一定能找到一个正方形，使得它的四面都与曲线相切（方镜框定理）.

hint.

3.4考虑等距离需要的的时间或者等时间跑过的距离

3.5考虑差值

3.6考虑命题3.2的引理，同时考虑四分之一的面积

3.7考虑两组平行线去夹住图形后转动，然后定义距离函数的差

定理证明与题目来自谢惠民数学分析习题集

部分题目来自论文 “零点定理”在生活中的应用 符繁强，陈云烁

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2026.8.12

于饥肠辘辘的午间