对偶空间

1.写在前面

从今天开始的这个部分主要是用来记录自己学到了什么和积累到了什么，因为我一直是只学习而不输出的类型，如果我再不整理的话我觉得我要完蛋了。所以主要整理一些今天所学习到的内容。

2.对偶空间

我们将会来探讨对偶空间的定义以及我们为什么要定义对偶空间。

我们首先来考虑一个很常见的空间，$\mathbb{R}^{[0,1]}$，也就是$[0,1]$上的所有函数，如果我们构造一个映射，十分平凡的定义为

$a': \mathbb{R}^{[0,1]} \longrightarrow \mathbb{R},f \longmapsto f(a),a\in [0,1]$

这样我们就得到了一个很平凡的映射，及将一个函数映射到它的某一个函数值上，如果我们将作用在某个$a$上看作一个映射的话，我们就可以将上面的式子写成如下形式：

$a'(f)=f(a)$

于是我们就可以系统性的把函数看作自变量来分析，这种把函数看作自变量的方式的我们给他一个名字叫做线性泛函。下面我们给出一个一般性的定义:

2.1(线性泛函的定义) 线性空间$V$上的线性泛函是$V$到$\mathbb{F}$上的线性映射，i.e.线性泛函是$\mathcal{L} (V,\mathbb{F})$中的元素.

e.g.1设$\phi: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R},(x,y,z) \longmapsto x+y+z$,则$\phi$是$\mathbb{R}^3$上的线性泛函.

e.g.2设 $\phi:\mathcal{P}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}，p \longmapsto 3p''(5) + 7p(4)$,那么$\phi$是$\mathcal{P}(\mathbb{R})$上的线性泛函.

得到线性泛函的定义之后，我们可以来定义对偶空间，

2.2（对偶空间的定义） 对偶空间是空间上所有线性泛函组成的空间，i.e.$U=\mathcal{L} (V,\mathbb{F})$我们将其记作$V'$.

我们可以简单验证$V'$是一个线性空间，此外根据$V=\mathcal{L} (V,\mathbb{F})$我们可以简单的得到以下事实：

2.3 $dimV'=dimV$

$pf$:$\dim V=\dim\mathcal{L} (V,\mathbb{F})=(\dim V)(\dim \mathbb{F})=\dim V$

$\square$

我们现在来找到对偶空间的基，我们知道它的维数，我们假设$\dim V=n$,，设$V$的基是$v_1,v_2,\cdots,v_n$,设$V'$的基是$\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n$,我们给出如下定义:

2.4(对偶基的定义) $\phi_i(v_k)=\begin{cases} 1, & i = k ,\\ 0, & x\neq k. \end{cases}$

我们可以验证它们可以张成整个空间$V'$

$pf$:考虑$a_1\phi_1 +a_2\phi_2+\cdots +a_n\phi_n=0$

对于左边作用$v_i$,$(a_1\phi_1 +a_2\phi_2+\cdots +a_n\phi_n)(v_i)=a_i\phi_i(v_i)=a_i=0$

故它们线性无关.

$\square$

我们来考虑$V$中的任意一个元素$v$,设$v=k_1v_1 +k_2v_2+\cdots +k_nv_n$，同时在左边作用$\phi_i$有$\phi_i(v)=\phi_i(k_1v_1 +k_2v_2+\cdots +k_nv_n)=k_i=0$,所以，我们发现对偶基给出了任意一个向量在对偶基所对应基下的系数，i.e.$v=\phi_1(v)v_1 +\phi_2(v)v_2+\cdots +\phi(v)v_n$.

接下来我们给出对偶映射的定义

2.5（对偶映射的定义） 设$T\in \mathcal{L}(V,W)$,我们记$T$的对偶映射为$T'$，其中$\phi\in W',T'\in \mathcal{L}(W',V')$,我们定义$T'(\phi)=\phi \circ T$.

我们很容易看出它在加法和数乘上面的性质，我们还可以得到一个Socks and Shoes 原理,也就是$(ST)'=T'S'$，其中$T\in \mathcal{L}(V,W),S\in \mathcal{L}(W,U)$，我们只需要指定一个元素$\psi \in U'$然后两边同时作用即可证明.

从最开始我们得到的那个关于函数的引子就给出了一个对偶映射的例子。

接下来我们定义一个我自认为类似于Kernel的东西，我们将其称作零化子.

2.6(零化子的定义) 设$U\subseteq V$,则我们定义零化子$U^0$为$U^0=\{\phi \in V':\forall u\in U,\phi(u)=0\}$

我们可以类似Kernel的方式证明$U_0$是子空间。

e.g 设$q\in \mathcal{P}(\mathbb{R}),P=x^2q(x)$，定义$\phi=p'(0)$，则$\phi\in U^0$

我们来考虑$\dim U^0$，首先先举个例子，假设$V=\mathbb{R}^5$,令$U\in V,u=(a_1,a_2,a_3,0,0)$，我们现在断言$\dim U^0=2$

考虑对偶基$\phi_4,\phi_5$，我们断言，$U^0=\mathrm{span}<\phi_4,\phi_5>$.显然满足条件，我们假设其维数不止$2$，设$U^0=\mathrm{span}<\phi,\phi_4,\phi_5>$,令$\phi=\sum \limits_{i=1} ^5k_i\phi_i$,作用于$u$上有$\phi(u)=a_1k_1+a_2k_2+a_3k_3=0 \Rightarrow k_i=0,i=1,2,3$，则$\phi \in \mathrm{span}<\phi_4,\phi_5>$

考虑同样的方式，我们能够证明任意的有限维空间$U\subseteq V$都有$\dim U^0= \dim V-\dim U$

我们给出两个非常简单的事实

2.7 设 (V) 和 (W) 是有限维的且 (T \in \mathcal{L}(V, W))。那么

$$\begin{aligned} &\text{(a)}\quad \operatorname{null} T' = (\operatorname{range} T)^0; \\[4pt] &\text{(b)}\quad \dim \operatorname{null} T' = \dim \operatorname{null} T + \dim W - \dim V. \end{aligned}$$

接着我们将线性映射定义一个基底，将其变成一个矩阵形式，令线性变换$T$的矩阵为$\mathcal{M}(T)$,我们可以得到

2.8 (对偶映射的矩阵) 设 (V) 和 (W) 是有限维的且 (T \in \mathcal{L}(V, W))。那么

$$\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t.$$

$pf$: 令 (A = \mathcal{M}(T)) 且 (C = \mathcal{M}(T'))。设 (1 \le j \le m) 且 (1 \le k \le n)。

由 (\mathcal{M}(T')) 的定义，我们有

$$T'(\psi_j) = \sum_{r=1}^n C_{r,j}\varphi_r.$$

上式左侧等于 (\psi_j \circ T)。于是将上式两侧均作用于 (v_k) 上，可得

$$\begin{aligned} (\psi_j \circ T)(v_k) &= \sum_{r=1}^n C_{r,j}\varphi_r(v_k) \\ &= C_{k,j}. \end{aligned}$$

我们还可写出

$$\begin{aligned} (\psi_j \circ T)(v_k) &= \psi_j(Tv_k) \\ &= \psi_j\left(\sum_{r=1}^m A_{r,k}w_r\right) \\ &= \sum_{r=1}^m A_{r,k}\psi_j(w_r) \\ &= A_{j,k}. \end{aligned}$$

比照上面两组等式的最后一行，我们有 (C_{k,j} = A_{j,k})。于是 (C = A^t)。换言之，(\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t)。

$\square$

P.S. 2.7 2.8是直接抄的书，打不动字了qwq.

参考书籍

Sheldon Axler . 线性代数应该这样学 (第四版).

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2026.9.17

于临阵脱逃的次日晚

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